lunes, 7 de enero de 2013

Geometría de la Realidad

La Geometría Euclideana considera un espacio plano y quieto. La realidad física se presenta de ese modo a nuestra mente. Pero a través de la indagación de la Realidad sabemos que el espacio "no es plano"; la curvatura lo definiría mejor; y definitivamente no está quieto, ya que todo se mueve vertiginosamente.

De todas maneras, para medir el movimiento nos ponemos en un punto teórico "quieto".

viernes, 31 de agosto de 2012

Geometría de Riemann

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_de_Riemann

¿Qué es la Geometría?

Desde el Idealismo, la geometría es la parte de la matemática que trata de abstraer numéricamente el espacio que percibimos y concebimos, y sus posibilidades.
Desde el Realismo, la geometría es la parte de la matemática que describe el espacio que hay, el espacio real.
La Geometría antigua tradicional distingue entre:
- el punto
- la recta
- el plano

Si consideramos el espacio como la trayectoria de 1 punto, tenemos la Teoría de Cuerdas.
Si describimos el espacio como la dirección de una línea (recta o curva), tenemos las geometrías no euclideanas que tratan de las propiedades de las líneas curvas.
Si consideramos los planos, sus inclinaciones y derivaciones posibles son las infinitas dimensiones de la realidad.

Tipos de Geometría no euclidiana

Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos. No existe un sólo tipo de geometría no euclídea, sino muchos, aunque si se restringe la discusión a espacios homogéneos, en los que la curvatura del espacio la misma en cada punto, en los que los puntos del espacio son indistinguibles pueden distinguirse tres tipos de geometrías:
  • La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero.
  • La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.
  • La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.
Todos estos son casos particulares de geometrías riemannianas, en los que la curvatura es constante, si se admite la posibilidad de que la curvatura intrínseca de la geometría varíe de un punto a otro se tiene un caso de geometría riemanniana general, como sucede en la teoría de la relatividad general donde la gravedad causa una curvatura no homogénea en el espacio tiempo, siendo mayor la curvatura cerca de las concentraciones de masa, lo cual es percibido como un campo gravitatorio atractivo.

Pioneros de la Geometría no euclideana

Estos fueron los pioneros de la GEOMETRÍA NO EUCLIDEANA: el húngaro János Bolyai, el alemán Carl Friedrich Gauss, y el ruso Lobachevski.

Nikolái Ivánovich Lobachevski (1792 – 1856) fue matemático.
Antes de Lobachesvski, los matemáticos intentaban deducir el quinto postulado de Euclides a partir de los otros axiomas; sin embargo, Lobachevsky se dedicó a desarrollar una geometría en la cual el quinto postulado puede no ser cierto o, mejor dicho, no ser válido. Para esto, entre otras cuestiones propuso un sistema geométrico basado en la hipótesis del ángulo agudo, según la cual, en un plano, por un punto fijo pasan al menos 2 paralelas a una recta -en realidad tal solución da noción de la existencia de triángulos curvos.


Entre sus obras destacan Sobre los principios de la geometría (1829) y Geometría imaginaria (1835).
Murió en Kazán en 1856.”

jueves, 5 de abril de 2012

En Geometría no euclideana Pi no vale 3,14159...

El valor de \Pi en una esfera depende del ángulo \theta formado por el centro de la circunferencia (visto en la esfera), el centro de la esfera y un punto de la circunferencia.
Vamos a ver un caso concreto: el ecuador de la esfera. Para esta circunferencia de la esfera se tiene que \theta=\textstyle{\frac{\pi}{2}}, por lo que
\Pi (\pi/2)=\pi \; \cfrac{sen (\pi/2)}{\pi/2}=2
Es decir, para el ecuador se tiene que \Pi=2.
Demostración:
El diámetro del ecuador visto en la esfera sería la curva que sale de un punto del ecuador y llega, por la superficie de la esfera, al punto diametralmente opuesto (según la geometría euclídea) pasando por el polo norte (o el polo sur).
Como el ecuador divide a la esfera en dos partes iguales, esta curva es una semicircunferencia, que resulta ser exactamente igual a medio ecuador. Esto significa que la longitud de la circunferencia del ecuador es el doble que la de su diámetro. Por tanto el cociente, que es \Pi, vale 2.
http://gaussianos.com/pi-no-siempre-vale-314159/#more-7951
En la geometría que considera el espacio esférico los postulados establecidos para la Geoletría Plana se modifican así: 
  1. Por dos puntos distintos sólo se puede trazar una línea curva.
  2. Todo segmento curva se puede prolongar hasta encontrarse con sí mismo.
  3. Con un centro y un radio sólo se puede trazar una circunferencia, pero multiplicada hasta el infinito en las diferentes direcciones.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales.
  5. Si dos rectas intersecan con una tercera de forma que la suma de sus ángulos interiores a un lado es menor que dos ángulos rectos, entonces las dos rectas se cortan individualmente por el mismo lado si se alargan lo suficiente.